線分がつくる電界がCoulombの法則とGaussの法則で一致しているかどうか

図1のように、z軸に並行な有限な長さを持つ線分がある。

図1　線分と点P

この線分から距離 r [m]だけ離れた場所を点Pとする。

この線分が λ [C/m]の電荷密度を持つ時、点Pがつくる電界 E_rを求める。

 

1.　Coulombの法則を使って求める方法

図2ように、線分中の dzがつくる電界を dEとする。 dEのうち、z方向の電界を dE_z、線分と直交する電界を dE_rとする。

便宜上、点Pからz軸に垂線を引き、交差した場所を z=0とする。

図2　微小な線分dzがつくる電界

Coulombの法則より

dE_z=\dfrac{λdz}{4πε_0(z^2+r^2)} \dfrac{z}{\sqrt{z^2+r^2}}

E_z=\dfrac{λ}{4πε_0} \displaystyle \int_{z_1}^{z_2}\dfrac{z}{({z^2+r^2})^\frac{3}{2}}dz　・・・（1.1）

ここで、図の角度 θを用いて

\tan θ=\dfrac{r}{-z}

z=-\dfrac{r}{\tanθ}=-{r}\dfrac{\cosθ}{\sinθ}

これより

dz=-r\dfrac{-\sin^2θ-\cos^2θ}{\sin^2θ}dθ=r\dfrac{1}{\sin^2θ}dθ

また

z: z_1→ z_2

θ: θ_1→ π-θ_2

図3 積分の範囲

よって（1.1）は

E_z=\dfrac{λ}{4πε_0}\displaystyle \int_{θ_1}^{π-θ_2} \dfrac{-r\frac{\cosθ}{\sinθ}}{(r^2+\frac{r^2}{\tan^2θ})^\frac{3}{2}}r\dfrac{1}{\sin^2θ}dθ

　=\dfrac{-λ}{4πε_0}\displaystyle\int_{θ_1}^{π-θ_2}r\dfrac{\cosθ}{\sinθ}\dfrac{1}{r^3(1+\frac{1}{\tan^2θ})^\frac{3}{2}}r\dfrac{1}{\sin^2θ}dθ

　=\dfrac{-λ}{4πε_0r}\displaystyle\int_{θ_1}^{π-θ_2}\dfrac{\cosθ}{\sinθ}\dfrac{1}{(1+\frac{1}{\tan^2θ})^\frac{3}{2}}\dfrac{1}{\sin^2θ}dθ

　=\dfrac{-λ}{4πε_0r}\displaystyle\int_{θ_1}^{π-θ_2}\dfrac{\cosθ}{\sinθ}\dfrac{1}{(1+\frac{\cos^2θ}{\sin^2θ})^\frac{3}{2}}\dfrac{1}{\sin^2θ}dθ

　=\dfrac{-λ}{4πε_0r}\displaystyle\int_{θ_1}^{π-θ_2}\dfrac{\cosθ}{\sinθ}\dfrac{1}{(\frac{\sin^2θ+\cos^2θ}{\sin^2θ})^\frac{3}{2}}\dfrac{1}{\sin^2θ}dθ

　=\dfrac{-λ}{4πε_0r}\displaystyle\int_{θ_1}^{π-θ_2}\dfrac{\cosθ}{\sinθ}\dfrac{1}{(\frac{1}{\sin^2θ})^\frac{3}{2}}\dfrac{1}{\sin^2θ}dθ

　=\dfrac{-λ}{4πε_0r}\displaystyle\int_{θ_1}^{π-θ_2}\cosθdθ

　=\dfrac{-λ}{4πε_0r}(\sin(π-θ_2)-\sinθ_1)

　=\dfrac{-λ}{4πε_0r}(-\cosπ\sinθ_2-\sinθ_1)

　=\dfrac{-λ}{4πε_0r}(\sinθ_2-\sinθ_1)

　=\dfrac{λ}{4πε_0r}(\sinθ_1-\sinθ_2)

これは点Pがz=0のところにある時、つまりθ_1=θ_2のとき、\sinθ_1=\sinθ_2となり E_z=0となる。

また、線分の長さが無限大のとき、つまりθ_1=θ_2=0のとき\sinθ_1-\sinθ_2=0となり E_z=0となる。

 

同様に

dE_r=\dfrac{λdz}{4πε_0(z^2+r^2)} \dfrac{r}{\sqrt{z^2+r^2}}

E_r=\dfrac{λ}{4πε_0} \displaystyle \int_{z_1}^{z_2}\dfrac{r}{({z^2+r^2})^\frac{3}{2}}dz

　 =\dfrac{λ}{4πε_0}\displaystyle \int_{θ_1}^{π-θ_2} \dfrac{r}{(r^2+\frac{r^2}{\tan^2θ})^\frac{3}{2}}r\dfrac{1}{\sin^2θ}dθ

　 =\dfrac{λ}{4πε_0}\displaystyle \int_{θ_1}^{π-θ_2} \dfrac{r}{r^3(1+\frac{\cos^2θ}{\sin^2θ})^\frac{3}{2}}r\dfrac{1}{\sin^2θ}dθ

　 =\dfrac{λ}{4πε_0r}\displaystyle \int_{θ_1}^{π-θ_2} \dfrac{1}{(\frac{\sin^2θ+\cos^2θ}{\sin^2θ})^\frac{3}{2}}\dfrac{1}{\sin^2θ}dθ

　 =\dfrac{λ}{4πε_0r}\displaystyle \int_{θ_1}^{π-θ_2} \dfrac{1}{(\frac{1}{\sin^2θ})^\frac{3}{2}}\dfrac{1}{\sin^2θ}dθ

　 =\dfrac{λ}{4πε_0r}\displaystyle \int_{θ_1}^{π-θ_2}\sinθdθ

　 =\dfrac{λ}{4πε_0r}(\cosθ_1-\cos(π-θ_2))

　 =\dfrac{λ}{4πε_0r}(\cosθ_1-\cosπ\cosθ_2)

　 =\dfrac{λ}{4πε_0r}(\cosθ_1+\cosθ_2)

線分の長さが無限大のとき、つまりθ_1=θ_2=0のとき\cosθ_1+\cosθ_2=2となり E_r=\dfrac{λ}{2πε_0r}となる。

2.　Gaussの法則を使って求める方法

図4 Gaussの法則の閉曲面

直線に対して図4のような円筒形の閉曲面を考える。

Gaussの法則より

\displaystyle \int E・dS=\dfrac{λdl}{ε_0}

微小面積dSの単位ベクトルと平行な電界はz軸に垂直のものしかないため

\displaystyle \int E_r・dS=\dfrac{λdl}{ε_0}

また

\displaystyle \int dS=2πrdl

より

E_r・2πrdl=\dfrac{λdl}{ε_0}

E_r=\dfrac{λ}{2πε_0r}・・・（1.2）

となる。

 

3.　結果

Gaussの法則で求めた式（1.2）は、Coulombの法則で線分の長さが無限大としたときの結果と一致する。

 

4.　感想

  • ほとんと積分テクニックで本質が書けたかと言われれば微妙
  • 学生時代はCoulombの法則 F=\dfrac{q_1 q_2}{4πε_0r^2}から始まり電界を出して…と電磁気学を教わったが、力 FがはじめにあるというよりMaxwellの方程式divE=\dfrac{ρ}{ε_0}があって、電荷が電界（電場）をつくりそこで力が働くという記述を（ネットのどこかで）見つけて、なるほどな～となった。
  • 精進します